Re: Nochmals hochgeholt - Exkurs Mathematik

Geschrieben von JeFra am 04. Mai 2003 04:11:09:

Als Antwort auf: Re: Nochmals hochgeholt - Exkurs Mathematik geschrieben von Dow Jones am 03. Mai 2003 03:49:38:

leuchtet mir allerdings nicht so ganz ein, weshalb man hier die sogar häufiger vorkommenden Radionuklide mit Halbwertszeiten > 1 Jahr vollkommen ausschließt.

Nein, die werden nicht ausgeschlossen. Die entprechenden Summanden N_iexp(-z_it) tragen durchaus zu der Summe bei, die durch M₁t^-1.1833 gut approximiert wird. Bei Zeiten > 1 Jahr duerfte nur die Approximationsguete stark nachlassen & sobald genuegend Zeit verstrichen ist, wird M₁t^-1.1833 die Radioaktivitaet auf jeden Fall ueberschaetzen (schliesslich fallen die Terme exp(-zt) ja asymptotisch schneller als t^-1.1833).

Das mit dem einen Jahr ist uebrigens etwas aus der Luft gegriffen, ich habe es auf der Grundlage meiner Erinnerungen an den Inhalt des Buches von Glasstone gemutmasst. Wenn Sie praktische Erwaegungen auf der Grundlage dieser Zahlen anstellen wollen, schlage ich besser nochmals nach.

Völlig außer acht ließe man dabei auch die Massenverteilungen der einzelnen Isotope, wie mir scheint.

Nein. Fuer andere Massenverteilungen erhielte man eben z. B. einen anderen Exponenten als 1.1833. Der Idealfall einer exakten Uebereinstimmung mit Konstante*t^-a ergibt sich fuer das uneigentliche Integral

Integral₀^Unendlich exp(-zt)z^a-1 dz = Gamma(a)t^-a,

wobei Gamma die Eulersche Funktion (verallgemeinerte Fakultaet) ist und diese Formel fuer alle a>0, also insbesondere a=1.1833, angewendet werden kann. Wenn man das Integral durch endliche Summen approximiert, so erhaelt man Beispiele fuer Verteilungen der Isotope unterschiedlicher Halbwertzeit, fuer die t^-a eine besonders gute Regel darstellt.

In Wahrheit duerfte a=1.1833 ein fuer praktische Zwecke nuetzlicher Kompromiss sein. Die 7er-Regel kann man sich eben leicht einpraegen.

Nach allgemein gültiger Schreibweise wäre die Basis als Hochzahl voranzustellen, also ⁷log(10), sollte dabei ein log auf 7er-Basis gemeint sein.

Ich habe die von mir benutzte Schreibweise log₇ fuer einen log mit Basis 7 auf der Schule gelernt. Solche Unterschiede in den Konventionen sind in der wissenschaftlichen Literatur nicht selten. Solange die Terminologie einigermassen selbsterklaerend bleibt, ist das unproblematisch.

Gruß
JeFra

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• Re: Nochmals hochgeholt - Exkurs Mathematik E-Techniker 05.5.2003 11:52 (0)